Hamiltonsche Mechanik

Diese Einführung in die Analytische Mechanik betont insbesondere die mathematischen Aspekte der behandelten Konzepte und Zusammenhänge. Nach einem Abriss des Lagrange Formalismus werden die Grundlagen der Hamiltonschen Formulierung der Mechanik entwickelt. Besonderer Aufmerksamkeit gilt dabei der Theorie der kanonischen Transformationen, jenen Abbildungen, die die Struktur dieser Theorie invariant lassen – davon gibt es zwei Varianten. Einerseits ist damit die Invarianz von Poisson Klammern gemeint, andererseits das Abbildungsverhalten von Lösungen der Hamilton Gleichungen. Zur besseren Unterscheidbarkeit, wird für den zweiten Aspekt der Begriff Hamiltonsche Abbildung eingeführt, und die Beziehungen zwischen diesen beiden Versionen ausführlich untersucht. Kanonische Transformationen stehen in engen Zusammenhang mit verschiedenen Typen erzeugender Funktionen. Die vorläufigen Erzeugenden (Typ G) haben universellen Charakter, deren Existenz folgt zudem aus einer einfachen Integrabilitätsbedingung; während die Existenz von Standard erzeugenden Funktionen (Typ F) an bestimmte Auflösbarkeitsbedingungen gebunden sind. Ein Theorem von Arnold stellt aber die Existenz wenigstens einer erzeugenden Funktion eines gemischten F-Typs sicher. Die Gruppeneigenschaften kanonischer Transformationen widerspiegeln sich in entsprechenden Eigenschaften von G-Erzeugenden; damit lassen sich die verschieden F-Typen systematisieren. Erzeugende Funktionen bilden schließlich auch die Brücke zur Hamilton Jacobi Theorie. In diesem Zusammenhang wird in einem Exkurs die Methode der charakteristischen Kurven für allgemeine partielle Differentialgleichungen erster Ordnung erläutert. Im Fall der Hamilton Jacobi Gleichung entsprechen diese Charakteristiken gerade den Lösungen der entsprechenden Hamilton Gleichungen.