Adjoint-Based Optimization of a Free Boundary Problem - Relaxation, Asymptotics and Numerics

Wir betrachten ein Optimalsteuerungsproblem, das durch ein freies Randwertproblem (FRP) beschränkt ist. Unsere Betrachtung konzentriert sich auf ein FRP-Modell, das durch eine Poisson-Gleichung im Gebiet und eine Young-Laplace-Gleichung gegeben ist, die die Oberflächenspannung am freien Rand berücksichtigt. Indem wir dieses gekoppelte System auf ein festes Referenzgebiet transformieren, umgehen wir die Schwierigkeiten, die mit Formableitungen verbunden sind. Allerdings resultiert dies in hochgradig nichtlinearen Koeffizienten der partiellen Differentialgleichung, was die optimale Steuerung erschwert. Zur Umgehung dieses Problems führen wir einen Relaxierungsansatz ein. Indem wir den Graphen des freien Randes als zusätzliche Steuervariable integrieren, wird das ursprüngliche Problem in eine Folge einfachere Optimierungsprobleme überführt. Die einzelnen Probleme der Folge beinhalten keinen freien Rand. Diese Methode wird als Steuerungsansatz bezeichnet, im Unterschied zum ursprünglichen bzw. Zustandsansatz. Für den Steuerungsansatz beweisen wir analytisch die Existenz eines Minimierers. Mithilfe der Lagrange-Methode leiten wir Optimalitätsbedingungen für den Zustands- und Steuerungsansatz her. Zusätzlich präsentieren wir zwei alternative Relaxierungsmethoden, bei denen wir die Dirichlet-Randbedingung auf zwei verschiedene Arten regularisieren. Mithilfe asymptotischer Analysis zeigen wir, dass ein Minimierer des Zustandsansatzes durch eine Folge von Minimierern des Steuerungsansatzes approximiert werden kann. Schließlich verwenden wir verschiedene numerische Methoden, um unsere analytischen Ergebnisse zu validieren. Insgesamt zeigen wir sowohl analytisch als auch numerisch, dass der Relaxierungsansatz erfolgreich eingesetzt werden kann, um die Komplexität zu reduzieren und eine zulässige Lösung des Optimalsteuerungsproblems mit einem freien Randwertproblem als Nebenbedingung asymptotisch zu approximieren.